Elementary Number Theory - 2.5 The Diophantine Equation ax + by = c

2.5 The Diophantine Equation ax + by = c

디오판투스 방정식 ax + by = c

위 책 32p의 내용이다.

디오판투스 방정식은 ax + by = c 이고 이번 포스트에서는 이식의 해를 구하는 방법에 대해 알아보도록 하겠다.

이 식의 해는 x, y 값이다.

디오판투스는 방정식에 관한 연구를 시작한 사람이다. 굉장히 오래전 사람이다. 

ax + by = c 꼴의 방정식을 디오판투스 방정식이라고 한다.

d = gcd(a, b)로 놓고

d|c 일 때

a = dr

b = ds 라고 할 때

c = ax0 + by0 = drx0 + dsy0 = d( rx0 + sy0 )

t = rx0 + sy0

c = dt = (ax0 + by0)t = a(tx0) + b(ty0) 이므로

ax + by = c는 x = tx0, y=ty0 라는 특수해를 갖는다.

Theorem 2.9 The liner Diophantine equation ax + by = c는 d = gcd(a, b)일 때 d|c 인 경우 하나의 해를 갖는다. 만약 x0, y0라는 '특이해'(particular solution)를 갖는다면 모든 다른 해에 대해서 임의의 정수 t에 대해 아래 식이 성립한다.

x = x0 + ( b / d ) t

y = y0 - ( a / d ) t

end.